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Akustik

Abstract

Akustik ist die Wissenschaft des Hörens und beschäftigt sich mit der Entstehung, Leitung und Wahrnehmung von Schall. Schall ist eine Schwankung in der Dichte eines Mediums, die sich in alle Raumrichtungen ausbreitet – weswegen eine Schallausbreitung im Vakuum nicht möglich ist. Unter den Begriff „Schall“ fallen neben dem hörbaren Schall auch der Ultraschall und alle anderen Formen von Druck-/Stoßwellen wie die seismischen Wellen in Folge eines Erdbebens, die man als Erschütterung/Vibration wahrnehmen kann. Für Mediziner relevant sind allerdings in erster Linie der mit dem Gehör wahrnehmbare Schall sowie technische Anwendungen wie die Sonographie, bei der (Ultra‑)Schallwellen in ein Gewebe geschickt und die reflektierten Schallwellen detektiert werden, um Aussagen über dieses Gewebe zu treffen.

Die wichtigsten Gleichungen der Akustik, die dem Mediziner begegnen können, sind in den folgenden Sektionen zusammengestellt und werden mittels einfacher Rechenbeispiele verdeutlicht. Zur Handhabung reicht es völlig, die jeweiligen Grundformeln zu kennen, die man dann einfach umformen oder einsetzen kann. Sollten hier Schwierigkeiten auftreten, so hilft „Grundlagen des Rechnens und Messens“ weiter. Die Hörwahrnehmung von Schall wird hier nur im Hinblick auf die physikalischen Schalleigenschaften beschrieben. Details über das Hören als Funktion des Ohrs werden hingegen unter „Auditives System“ abgehandelt.

Physikalische Beschreibung von Schall

Die wellenförmige Ausbreitung von Schall kommt dadurch zustande, dass eine Schallquelle rhythmisch Kraft auf die Moleküle des umgebenden Mediums überträgt – z.B. vibriert das Fell einer geschlagenen Trommel. Durch diese Kraft beginnen die Moleküle parallel zur Ausbreitungsrichtung zu schwingen (Longitudinalschwingung) und bilden so eine Schallwelle. Daraus resultieren folgende charakteristische Eigenschaften (im Folgenden liegt der Fokus auf hörbarem Schall in Luft):

  • Schallfrequenz: Frequenz des Schalls. Sie gibt an, wie schnell sich die Schwingungen der Schallwelle wiederholen. Die Schallfrequenz macht letztlich die "Tonhöhe" aus und ist unabhängig vom Medium, durch das sich der Schall ausbreitet.
    • Formel: f = c / λ
      • Einheit: Hz (Hertz, 1/s)
      • f = Schallfrequenz, c = Ausbreitungsgeschwindigkeit, λ = Wellenlänge
    • Je höher die Frequenz, desto höher der Ton und desto kürzer die Wellenlänge
  • Periodendauer: Kehrwert der (Schall‑)Frequenz
    • Formel: T = 1 / f
      • Einheit: s
      • T = Periodendauer, f = Frequenz
  • Schallgeschwindigkeit: Ausbreitungsgeschwindigkeit des Schalls
    • Formel: c = s / t
    • Die Schallgeschwindigkeit in Luft liegt bei 343 m/s
      • Im Vergleich zum Licht (ca. 300000000 m/s) ist Schall um ein Vielfaches langsamer!
  • Schalldruck: Schwankung des (Luft‑)drucks, gehört zu den sog. Schallfeldgrößen; die Schwankung des Luftdrucks ist letztlich die Kraft, die durch die Schallquelle auf eine bestimmte Fläche wirkt
    • Formel: p = I / v
  • Schallintensität: „Schallstärke“; gehört zu den sog. Schallenergiegrößen und beschreibt die Energie des Schalls pro Fläche und Zeit
    • Formel: I = E / At (= P/A)
      • Einheit: W / m2
      • E = Energie, A = Fläche, t = Zeit, P = Leistung
    • Die Schallintensität nimmt bei wachsendem Abstand zur Schallquelle ab
  • Schallleistung: Leistung, die eine Schallquelle erbringt, um einen Schall zu erzeugen; gehört zu den sog. Schallenergiegrößen.
  • Schallschwächung: Schallwellen werden im Laufe der Ausbreitung immer schwächer . Diese Schwächung kann man analog zur Absorption von Licht beschreiben:
    • Formel: I(x) = I0 × e-μx
Beispielrechnung: Schallgeschwindigkeit

Schall bewegt sich mit der Geschwindigkeit von 25m/s durch ein Medium. Wie verändert sich die Wellenlänge, wenn die Frequenz von 50Hz auf 150Hz ansteigt?

  • Gesucht: Wellenlänge λ
  • Gegeben: Ausbreitungsgeschwindigkeit c, Frequenz f
    • f = c / λ => λ = c / f
    • => λ1 = 25m/s / 50 1/s = 0,5m
    • λ2 = 25m/s / 150 1/s = 0,17m
    • Die Wellenlänge sinkt auf ein Drittel, wenn sich die Frequenz verdreifacht.

Hörwahrnehmung von Schall

Der "Hörschall" ist der Schall, der von seiner Frequenz (ca. 20–20.000 Hz) und Lautstärke (über der Hörschwelle) für das menschliche Gehör wahrnehmbar ist. Da das menschliche Gehör individuell verschieden ist und sich darüber hinaus im Laufe des Lebens verändert, sind die Grenzen des Hörbaren variabel. Zusätzlich variiert die empfundene Lautstärke mit der Frequenz der Schallwellen.

  • "Lautstärke": Ist eine subjektiv empfundene Größe, i.d.R. in "Phon" angegeben
    • Isophone: Kurve in einem Diagramm aus Frequenz (x-Achse) und Schallpegel (y-Achse), auf der alle Töne als gleich laut empfunden werden
  • Schall und menschliches Gehör
  • Hörschall: Schall, dessen Frequenz (Tonhöhe, 20 Hz–20 kHz) und Druck (Lautstärke,) für das menschliche Gehör wahrnehmbar sind
    • Die höchste Schallempfindlichkeit liegt bei Schallfrequenzen von 2–5 kHz
    • Infraschall: Schall, dessen Frequenz zu klein ist, um vom Menschen gehört zu werden (< ca. 20 Hz)
    • Ultraschall: Schall, dessen Frequenz zu groß ist um vom Menschen gehört zu werden (> ca. 20.000 Hz)
  • Schallpegelmaß: Da das menschliche Gehör bei kleinen Schallfrequenzen auch kleine Schwankungen der Schallstärke wahrnehmen kann, bei großen Frequenzen aber nur sehr große Schallstärkeänderungen, ist es sinnvoll, logarithmische Schallpegel zu definieren. Diese Schallpegelmaße werden in der relativen, logarithmischen Einheit „Dezibel“ angegeben. Die Dezibelskala erlaubt darüber hinaus, die technischen (d.h. absoluten) Größen Schalldruck, Schallleistung und Schallintensität mit der psychoakustischen (d.h. relativen) Größe „Lautheit“ in Phon zu korrelieren: Es gilt, dass bei einer Schallfrequenz von 1000Hz der Zahlenwert in Dezibel dem in Phon entspricht.

Aufgrund der logarithmischen Beziehung zwischen dem Schallpegelmaß in dB und dem Schalldruck entspricht eine Erhöhung des Schalldruckpegels um 20dB einem Unterschied zwischen p und p0 um den Faktor 10 (da lg(10) = 1), wohingegen eine Erhöhung des Schallintensitätspegels um 20 dB einem Unterschied zwischen I und I0 gleich einem Faktor 100 ist (da lg(100) = 2)!

Die subjektiv empfundene Lautstärke wird i.d.R. in der Einheit "Phon" angegeben, objektive Lautstärke wie Schalldruck, Schallleistung und Schallintensität werden in dB (Dezibel) angegeben. Definitionsgemäß sind bei 1 kHz die dB-Skala und die Phon-Skala identisch!

Beispielrechnung 1: Schallpegel

Ein Patient hat einen Hörverlust von 20 dB auf dem rechten Ohr. Um welchen Faktor (Schallintensität) hört er links die Geräusche lauter als rechts?

Beispielrechnung 2: Schallpegel

Zwei Geräusche mit den Lautstärken 14 dB und 5 dB werden von einer Person gehört. Welche Geräuschbelastung hat die Person dann?

  • Gesucht: Schallpegel Lgesamt
  • Gegeben: Schallpegel L1, L2
    • Schallpegel addieren sich. Da die Einheit Dezibel jedoch eine logarithmische Einheit ist, muss das beim Addieren berücksichtigt werden!
    • => 14 dB = 1,4 B; 5 dB = 0,5 B
    • ⇔ 101,4 + 100,5 = 28,28
    • log(28) = 1,45 B
    • ⇔ 14,5 dB
    • Das leisere Geräusch macht zusätzlich zum lauteren Geräusch kaum einen Unterschied!

Schallausbreitung

Schall breitet sich gleichförmig in Wellen aus. Die Schallwellen können dabei (genau wie Licht, siehe hier auch → Optik) an Oberflächen reflektiert werden (z.B. Echo), gebeugt werden, frequenzabhängig gestreut (Dispersion) oder absorbiert werden. Diese Phänomene der Schallausbreitung sind wichtig, weil man sie sich zunutze machen kann, in der Medizin passiert das z.B. bei der Sonographie, die auch als Echographie bekannt ist.

Impedanz

Schall überträgt sich über Schwingungen von Teilchen in einem Medium – somit ist es naheliegend, dass sich der Schall je nach Eigenschaften des Mediums unterschiedlich schnell ausbreitet. Sogar die Temperatur von Luft hat einen Einfluss auf die Ausbreitungsgeschwindigkeit! Die Impedanz beschreibt diesen materialabhängigen „Schallwellenwiderstand!“.

  • Schallimpedanz: Materialabhängige Konstante, die den Zusammenhang zwischen Schallgeschwindigkeit und der Dichte des Materials darstellt
    • Formel: Z = ρ × c
      • Einheit: Ns/m3
      • Z = Impedanz, ρ = Dichte des Mediums, c = Ausbreitungsgeschwindigkeit
    • Je größer die Dichte eines Materials ist, desto höher ist die Schallgeschwindigkeit
    • Die Frequenz des Schalls ändert sich nicht beim Übergang zwischen zwei Medien mit unterschiedlicher Schallimpedanz
    • Je größer der Dichteunterschied zwischen zwei Geweben (d.h. je größer der Schallimpedanzsprung), desto mehr Schall wird beim Übergang vom einen ins andere Gewebe reflektiert

Resonanz

Eine Schwingung, die von außen angeregt wird (z.B. durch eine Schallquelle), ist eine "erzwungene" Schwingung. Diese Schwingung fällt umso stärker aus, je näher die Frequenz der Schwingung bei der sogenannten "Eigenfrequenz" des schwingenden Mediums/Körpers liegt. Erfolgt eine kontinuierliche Anregung einer Schwingung mit oder nahe der Eigenfrequenz, dann kommt es zur Resonanz. Während dieser Effekt in der Musik erwünscht ist (z.B. bei Musikinstrumenten), kann Resonanz die Eigenschwingung eines Systems auch so weit verstärken, bis es zusammenbricht. Das nennt man die Resonanzkatastrophe.

  • Resonanz (Akustik): Von außen angeregtes und verstärktes Schwingen eines schwingfähigen Systems
    • Eigenfrequenz: Frequenz der Schwingung, die ein System auf Grund seiner Form ohne äußere Anregung oder Dämpfung der Schwingung zeigen würde
      • Resonanzkatastrophe: Starkes Ansteigen der Schallamplitude durch geeignete Anregung (mit der Eigenfrequenz) und Verstärkung der Schwingung
      • Bestimmung der Eigenfrequenz eines Hohlraumresonators: Ein Hohlraumresonator ist ein Resonanzrohr, z.B. eine Flöte
        • Hohlraumresonator an beiden Enden offen: L = λ / 2
          • L = Länge des Hohlraums, λ = Wellenlänge der Grundschwingung, die Resonanz erzeugt
        • Hohlraumresonator an einem Ende offen: L = λ / 4
          • L = Länge des Hohlraums, λ = Wellenlänge der Grundschwingung, die Resonanz erzeugt

Resonanz
Die Haarzellen im Innenohr des Menschen haben ca. 100 unterschiedliche Resonanzfrequenzen. Dadurch werden unterschiedliche Frequenzen eines Geräuschs getrennt im Ohr "abgebildet" und auch in getrennte Fasern der Hörbahn weitergeleitet.

Doppler-Effekt

Normalerweise wird ein Ton vom Empfänger mit derselben Frequenz gehört, mit der er vom Sender ausgesandt wurde. Verändert sich während des Hörens der Abstand zwischen Schallquelle (auch "Sender") und Empfänger, so verändert sich jedoch dadurch die Frequenz des empfangenen Schalls. Diese Veränderung nennt man Doppler-Effekt.

  • Doppler-Effekt: fEmpfänger = fSender (c ± vEmpfänger / c ± vSender)
    • f = Frequenz des Schalls, c = Ausbreitungsgeschwindigkeit des Schalls, v = Geschwindigkeit der Bewegung von Sender/ Empfänger
  • Bewegung aufeinander zu
    • Weg des Schalls verkürzt sich
    • Negatives Vorzeichen in der Formel
    • Frequenz des Schalls steigt → Ton wird höher wahrgenommen als bei Stillstand
    • Wellenlänge des Schalls wird kleiner
  • Bewegung voneinander weg
    • Weg des Schalls verlängert sich
    • Positives Vorzeichen in der Formel
    • Frequenz des Schalls sinkt → Ton wird tiefer wahrgenommen als bei Stillstand
    • Wellenlänge des Schalls wird größer
  • Beispiel: Bei einem fahrenden Krankenwagen hört man das Martinshorn in unterschiedlicher Tonhöhe: Während der Krankenwagen sich nähert, ist der Ton höher als bei Stillstand, weil der Krankenwagen sich in die gleiche Richtung bewegt wie der Schall, der vom Empfänger gehört wird ("er fährt den Schallwellen hinterher") – die Frequenz des Schalls vergrößert sich also.
    Während der Krankenwagen sich entfernt, ist der Ton hingegen tiefer als bei Stillstand, weil der Krankenwagen sich entgegen der Richtung der Schallwellen bewegt, die vom Empfänger gehört werden ("er fährt vom Schall weg") – die Frequenz des Schalls verkleinert sich also.

Doppler-Sonographie
Die sog. Doppler-Sonographie nutzt den Doppler-Effekt, um nicht nur die Morphologie von Strukturen, sondern auch das Strömungsverhalten von Blut darzustellen. Je nachdem, in welche Richtung und mit welcher Geschwindigkeit das Blut fließt, führen die korpuskulären Bestandteile des Blutes zu einer Veränderung der durch das Ultraschallgerät gesendeten Frequenz – sie wird dann entweder erhöht oder erniedrigt reflektiert. Aus dieser Frequenzveränderung zwischen gesendetem und empfangenem Schall kann das Gerät die Flussgeschwindigkeit des Blutes ableiten. Das Verfahren wird insbesondere in der Diagnostik von Gefäß- und Herzerkrankungen eingesetzt.

Wiederholungsfragen zum Kapitel Akustik

Physikalische Beschreibung von Schall

Was ist Schall?

Wie bewegt sich eine Schallwelle?

Was bewegt sich schneller in Luft, Schall oder Licht?

Was ist die sog. Schallintensität?

Hörwahrnehmung von Schall

Wann ist Schall vom Menschen hörbar?

Nenne und erkläre die drei Pegelmaße des Schalls!

Was ist ein Isophonen-Diagramm?

Was wird in der Einheit Phon angegeben und wie hängt sie mit den Werten in Dezibel zusammen?

Schallausbreitung

Was bedeutet der physikalische Begriff Dispersion und wo im Körper spielt dieses Phänomen eine Rolle?

Offene Fragen zum Kapitel Akustik

Was sind die drei Pegelmaße, die für den Schall verwendet werden?

Erkläre, was der Doppler-Effekt ist, und nenne ein Beispiel aus der Medizin, wo er Anwendung findet.