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Grundlagen der Mechanik

Abstract

Mechanik ist die Lehre der Bewegung von Körpern und den Kräften, die diese Bewegung auslösen. Neben der geradlinigen und der kreisförmigen Bewegung starrer Körper schließt dies auch die „Bewegungen“ deformierbarer Körper ein, d.h. deren Verformung. Eine in diesem Zusammenhang besonders wichtige Größe ist der Druck, der daher im Zusammenhang mit der Dichte von Stoffen und dem hydrostatischen Druck gesondert beschrieben wird. Für alle Bewegungen werden jeweils die charakteristischen Eigenschaften beschrieben, die auslösenden Kräfte und die durch diese Kräfte verrichtete Arbeit bzw. erbrachte Leistung. Anhand einzelner konkreter Anwendungen wie dem Pendel oder der Zentrifuge werden die vorgestellten Konzepte noch intensiver beleuchtet.

Ziel der Physik ist es, mit Hilfe weniger einfacher Gleichungen Prozesse abzubilden und vorhersagbar zu machen. Die wichtigsten Gleichungen der Mechanik, die dem Mediziner begegnen können, sind in den folgenden Sektionen zusammengestellt und werden mittels einfacher Rechenbeispiele verdeutlicht. Zur Handhabung reicht es völlig nur die jeweiligen Grundformeln zu kennen, die man dann einfach umformen oder einsetzen kann. Sollten hier Schwierigkeiten auftreten, so helfen die Grundlagen des Rechnens weiter.

Grundlagen Kräfte

Newtons Gesetze der klassischen Mechanik

Die klassische Mechanik geht auf den Physiker Newton zurück, der drei wichtige Gesetze für Bewegungen und ihre Ursachen formuliert hat:

  • 1. Newton'sches Gesetz: Ein Körper bleibt in Ruhe (oder gleichförmiger, geradliniger Bewegung), sofern auf ihn nicht äußere Kräfte einwirken.
  • 2. Newton'sches Gesetz: Jede Bewegungsänderung ist proportional zur einwirkenden Kraft und erfolgt in die Richtung der einwirkenden Kraft.
  • 3. Newton'sches Gesetz: Kräfte treten immer paarweise auf: Übt ein Körper 1 auf einen anderen Körper 2 eine Kraft aus (Aktion), dann wirkt eine gleich große, entgegengesetzte Kraft von Körper 2 auf Körper 1 (Reaktion).

Überlagerung von Kräften

Newton formuliert für die von ihm beschriebenen Kräfte das sog. Superpositionsprinzip: Wenn auf einen Körper mehr als eine Kraft einwirkt, addieren sich die Kräfte zu einer Gesamtkraft. Dabei muss unbedingt bedacht werden, dass Kräfte mathematisch gesehen Vektoren sind, d.h. neben ihrer Größe, also ihrem Betrag, spielt auch immer ihre Richtung eine Rolle. Der Einfachheit halber werden im Folgenden alle Rechnungen ohne Vektorschreibweise präsentiert. Trotzdem sollen hier durch einfache graphische Darstellung die Eigenschaften von Kraftvektoren verdeutlicht werden:

Kraftrichtung Formel Vektor-Darstellung
Gleiche Richtung Fges = F1 + F2
Entgegengesetzte Richtung Fges = F1 - F2
Unterschiedliche Richtungen Fges = F1 + F2

Bewegung von Körpern

Bewegung ist die Veränderung der räumlichen Position eines Körpers durch eine Kraft. Körper können in einer Bewegung beschleunigt oder aber abgebremst werden. Man unterscheidet zwei Arten von Bewegung: Die gradlinige Bewegung, Translation genannt, und die Drehbewegung. Zwischen beiden gibt es einige Parallelen. Eine Möglichkeit, eine solche bewegende Kraft von einem auf einen anderen Körper zu übertragen, ist der Stoß. Dieser Kraftstoß überträgt einen "Schwung", den man in der Physik einen „Impuls“ nennt. Da der Impuls in eine bestimmte Richtung geht, ist auch er eine vektorielle Größe.

  • Kraft: Setzt Bewegung in Gang → Beschleunigt einen Körper je nach seiner Masse stärker oder weniger stark
    • Formel: F = m × a
  • Gewichtskraft: Die Gewichtskraft, die einen Körper zur Erde zieht, ist proportional zu der Masse des Körpers und der Erdbeschleunigung g (= 9,81 m/s2)
    • Formel: G = m × g
      • Einheit: N (Newton)
      • G = Schwerkraft, m = Masse, g = Erdbeschleunigung (= 9,81 m/s2)
  • Impuls: Beschreibt die „Bewegungsmenge“ eines Körpers mit Masse.
  • Impulserhaltung: Der Gesamtimpuls in einem geschlossenen System bleibt immer konstant!
    • Beispiel: Bei einem Auffahrunfall wird das auffahrende Auto gebremst und das vordere Auto angeschoben, der bremsende Impuls auf das hintere Auto ist dabei gleichgroß wie der anschiebende Impuls auf das vordere Auto.
  • Stoß: Wenn zwei Körper einen Impuls austauschen, nennt man das Stoß.
    • Elastischer Stoß: Stoß, bei dem sich eine zunächst entstehende Verformung wieder völlig zurückbildet
    • Unelastischer Stoß: Stoß, bei dem eine dauerhafte Verformung entsteht

Was im Alltag als "Gewicht" eines Gegenstands bezeichnet wird, ist in Wirklichkeit eine Kraft – die Gewichtskraft, die durch die Anziehungskraft der Erde, die jeden Körper in Richtung Erdmittelpunkt beschleunigt, entsteht. Sie ist daher keine Eigenschaft, die dem Körper zu eigen ist, sondern variiert, je nachdem, wo sich der Körper im Anziehungsfeld der Erde befindet! Sie ist nicht zu verwechseln mit der Masse, die tatsächlich eine Eigenschaft eines Körpers ist und ein Maß dafür, wie stark er sich einer Beschleunigung widersetzt (Trägheit)!

Impulserhaltungssatz: In einem System, das mit seiner Umgebung keine Wechselwirkungen austauscht (abgeschlossenes System), muss die Summe aller Impulse immer gleich bleiben!

Beispielrechnung

Eine Metallkugel mit einer Masse von 5 kg, soll innerhalb von 3 Sekunden auf eine Geschwindigkeit von 20 km/h beschleunigt werden. Welche Kraft ist dazu notwendig?

  • Gesucht: Kraft F
  • Gegeben: Masse m, Geschwindigkeit v, Zeitspanne Δt,
    • 20 km/h = 20000 m/h = 5,56 m/s
    • a = Δv / Δt = 5,56m/s / 3s = 1,85m/s2
    • F = m × a = > 5kg × 1,85m/s2 = 9,3N

Translation

Mathematische Beschreibung

  • Geschwindigkeit: Ist ein Maß für die Strecke, die ein sich bewegender Körper pro Zeiteinheit zurücklegt
    • Formel: v = s / t
      • Einheit: m/s
      • v = Geschwindigkeit, s = Strecke, t = Zeit
      • Der Vektor der Geschwindigkeit verläuft bei:
        • Linearer Bewegung: In die gleiche Richtung wie die Bewegung (der Vektor liegt auf der Geraden)
        • Gekrümmter Bewegung: Als Tangente am betrachteten Punkt der Kurve und Vektor zeigt in die Richtung, in die die Bewegung geht
    • Sonderfall freier Fall: Bei Vernachlässigung der Reibungskräfte kann die Geschwindigkeit eines Körpers im freien Fall mit Hilfe der Erdbeschleunigung g berechnet werden
      • Formel: v = g × t
      • v = Geschwindigkeit, g = Erdbeschleunigung (= 9,81 m/s2), t = Zeit
  • Beschleunigung: Geschwindigkeitsänderung, die ein Körper z.B. durch eine Kraft erfährt

Graphische Darstellung – Weg/Zeit-Diagramm

Graphisch kann man Translationsbewegungen in einem sogenannten Weg/Zeit-Diagramm (y-Achse: Weg bzw. Strecke s [in m]; x-Achse: Zeit t [in s]) darstellen, aus dem man viele Informationen direkt ablesen kann:

Drehbewegung

Eine Drehung (auch Rotation genannt) ist die Bewegung eines Körpers um eine Drehachse. Vieles, was von der einfachen Translationsbewegung (s.o.) bereits bekannt ist, kann auf die Drehbewegung übertragen werden. Wichtige Zusammenhänge, in denen Drehbewegungen eine Rolle spielen, sind die Balkenwaage, der Hebel und die Zentrifuge (s.u.).

  • Drehmoment: Das Drehmoment M beschreibt die Drehung mit einem bestimmten Radius r, die aus einer antreibenden Kraft F resultiert.
    • Formel: M = r × F
      • Einheit: Nm (Newtonmeter)
      • M = Drehmoment, r = Radius der Drehung, F = Kraft
    • Das Drehmoment ist senkrecht zum Kraftvektor!
  • Drehzahl: Anzahl der Drehungen pro Zeiteinheit
    • Formel: n = ΔN / Δt
      • Einheit: 1/s
      • n = Drehzahl, ΔN = Anzahl der Drehungen, Δt = Zeitdauer
  • Drehleistung: Leistung, die erbracht werden muss, um einen Gegenstand zu drehen
  • Drehimpuls: Der Drehimpuls ist der Impuls (s.o.) einer Drehbewegung
    • Formel: L = I × ω
      • Einheit: kg×m2/s
      • L = Drehimpuls, I = Trägheitsmoment, ω = Winkelgeschwindigkeit
  • Schwerpunkt: Massenmittelpunkt
    • Wird ein Körper an einem Punkt drehbar aufgehängt, dann pendelt sich seine Position so ein, dass der Aufhängungspunkt, der Massenmittelpunkt des Körpers und der Erdmittelpunkt in einer Linie liegen.

Periodische Bewegungen: Schwingungen

Sowohl translatorische als auch Drehbewegungen können sich periodisch wiederholen – man denke an Pendel oder Federn. Solche periodischen Phänomene nennt man Schwingungen. Schwingungen, die sich räumlich ausbreiten, heißen Wellen. Man beschreibt Schwingungen mithilfe der Sinusfunktion. Die maximale Auslenkung der Schwingung wird auch Amplitude genannt.

  • Harmonische Schwingung: Periodische Auslenkung eines Objekts oder einer Welle ohne Energieverlust
    • Formel: s = s0 × sin(2πt / T) = s0 × sin(ωt)
      • Der Winkel der Schwingungsbewegung wird in der Physik i.d.R. mit Hilfe des → Bogenmaß angegeben
    • Wichtige Größen
      • Amplitude (s0): Maximale Auslenkung der Schwingung
      • Schwingungsdauer (T): Zeitspanne, die eine komplette Schwingung benötigt
      • Frequenz (1/T): Anzahl der kompletten Schwingungen pro Sekunde
        • Einheit: Hertz (Hz) = 1 Schwingung pro Sekunde
      • Bei Wellen, die sich im Raum ausbreiten, gibt es zusätzlich:
      • Beispielrechnung: Siehe Fadenpendel (→ Pendel)

Energie, Arbeit, Leistung

Jede Bewegung setzt voraus, dass Energie aufgewendet wird, die auch als „Arbeit“ quantifiziert wird (Arbeit = Energiemenge, die bei einem Prozess umgesetzt wird). Soll die Arbeit auf den Zeitraum, in dem sie verrichtet wird, bezogen werden, so verwendet man als Größe die „Leistung“.

Energie

Jede Energie kann in andere Energieformen umgewandelt werden. Beispiel für eine solche Umwandlung sind die Reibung (Bewegungsenergie → Wärmeenergie) und das Pendel (Bewegungsenergie → Potentielle Energie).

  • Kinetische Energie: Bewegungsenergie, d.h. die Energie, die in der Bewegung eines Körpers steckt
  • Potentielle Energie: Energie eines Körpers, die sich aus seiner Lage im Kraftfeld der Schwerkraft ergibt
    • Formel: Epot = m × g × h
      • Einheit: Nm
      • Epot = Potentielle Energie, m = Masse, g = Erdbeschleunigung (= 9,81 m/s2), h = Höhe der Auslenkung
  • Wärmeenergie: Energie, die in der mikroskopischen Bewegung der Stoffteilchen (Brown'sche Molekularbewegung, siehe hierzu auch: Thermodynamik), aus denen ein Körper besteht, gespeichert ist
  • Reibung: Hemmung einer Bewegung, die auftritt, wenn sich Materie berührt, da kinetischer Energie in Wärmeenergie umgewandelt wird
    • Innere Reibung: Tritt zwischen Teilchen innerhalb desselben Mediums auf
    • Äußere Reibung: Tritt an der Grenzfläche zweier Medien auf
      • Gleitreibung: Reibungskraft, die beim Schieben oder Ziehen eines Körpers der Bewegung entgegenwirkt
      • Haftreibung: Reibungskraft, die überwunden werden muss, damit sich ein zuvor ruhender Gegenstand von der Stelle bewegt.

Arbeit

Arbeit ist die Energiemenge, die bei einem Vorgang aufgewendet werden muss. Hier werden mit der Hubarbeit und der Beschleunigungsarbeit zwei wichtige Formen der Arbeit im Hinblick auf Bewegung von Körpern vorgestellt:

Beispielrechnung

Um einen Stein von 2 kg auf eine Höhe von 2 m anzuheben, wird welche Hubarbeit erbracht?

  • Gesucht: Hubarbeit W
  • Gegeben: Masse m, Hubweg h
    • G = m × g => G = 2 kg × 9,81 m/s2 = 19,62 N
    • W = G × h => 19,62 N × 2 m = 39,24J

Leistung

Mit Hilfe mechanischer Kräfte kann Energie in Form von Arbeit auf einen Körper übertragen werden. Um die Dynamik der Arbeit anzugeben, definiert man die Leistung:

  • Leistung: Energie pro Zeiteinheit bzw. pro Zeit verrichtete Arbeit
    • Formel: P = W / Δt
      • Einheit: W (Watt, = J/s)
      • P = Leistung, W = Energie bzw. mechanische Arbeit, t = Zeit
Beispielrechnung

Um einen Stein innerhalb von 5 Minuten auf eine Höhe von 0,5m anzuheben, muss eine Kraft von 3N aufgewendet werden. Welche Leistung wird dabei erbracht?

  • Gesucht: Leistung P
  • Gegeben: Zeit t, Höhe h, Kraft F
    • W = F × h => 3 N × 0,5 m = 1,5 J
    • => P = W / Δt => 1,5 J / 300 s = 0,005 W

Verformung von Körpern

An einem Körper angreifende Kräfte können zu einer Verformung dieses Körpers führen. Verformungen wie Knickung, Biegung, Scherung (d.h. Verschiebung von Schichten gegeneinander) oder Torsion (d.h. Verdrillung) sind aus dem Alltag bekannt. Die wichtigsten und einfachsten Phänomene sind Dehnung und Stauchung. Im Zustand einer Dehnung oder Stauchung speichert der Körper Energie (nämlich die Energie, die mittels der Kraft, die für die Längenänderung verantwortlich ist, auf den Körper übertragen wurde). Das einfachste Beispiel für eine solche Verformung ist das Federpendel.

  • Längenänderung: Vergrößerung oder Verkleinerung der Länge eines Gegenstands
    • Formel: ε = Δl/l
      • ε = Dehnung, Δl = Längenänderung, l = Ursprungslänge
    • Beim Federpendel entspricht dies z.B. der Längenänderung der Feder
    • Dehnung: Vergrößerung der Länge
    • Stauchung: Verkleinerung der Länge
  • Hook'sches Gesetz: Beschreibt die elastische Verformung eines Körpers, die aus einer angreifenden Kraft resultiert
    • Formel: F = E × A × ε
    • Mit dem Hook'schen Gesetz kann bspw. die Dehnung einer Feder berechnet werden, wenn sie mit einer bestimmten Kraft auseinander gezogen wird.
    • Ist bekannt, wie weit eine Feder gedehnt ist, so kann mit diesem Gesetz auch berechnet werden, welche Kraft der Feder in der Feder gespeichert ist.
  • Elastizitätsmodul: Materialeigenschaft; beschreibt das Verhalten eines Materials bei Verformung als entstehende Spannung in Relation zur beobachteten Dehnung
    • Formel: E = σ / ε
  • Zugspannung: Spannung, die in einem Objekt durch den Verformungswiderstand entsteht, wenn es gedehnt wird
    • Formel: σ = F / A
      • Einheit: N/m2
      • σ = Zugspannung, F = Zugkraft, A = Querschnittsfläche
  • Spannenergie: Energie, die in einer gespannten Feder gespeichert wird
    • Formel: E = ½ D × s2
      • Einheit: J (Joule)
      • E = Energie, D = Federkonstante [N/m], s = Auslenkung [m]
      • Die Federkonstante gibt die Härte oder Steifigkeit einer Feder an und ist näherungsweise eine Konstante. Ihre Größe hängt ab von der Form und dem Material der Feder.
Rechenbeispiel

An einem 60cm langen Gummiband mit der Querschnittsfläche 2cm2 wird mit einer Kraft von 1N gezogen. Wie groß ist die Spannung, unter der das Gummiband steht? Wenn das Gummiband durch den Zug um 5cm länger wird, wie groß ist dann sein Elastizitätsmodul?

  • Gesucht: Spannung σ, Elastizitätsmodul E
  • Gegeben: Länge l, Querschnittsfläche A, Zugkraft F, Längenänderung Δl
    • σ = F/A => σ = 1N / 0,0002m2 = 5000N/m2
    • ε = Δl/l => ε = 5cm / 60cm
    • E = σ/ε => E = 5000N/m2 / (5/60) = 60000N/m2

Hydrostatik

Neben der Masse gibt es noch eine weitere den Körpern innewohnende Eigenschaft: die Dichte. Diese setzt die Masse des Körpers mit seinem Volumen in Verbindung. Besonders für Flüssigkeiten spielt die Dichte eine wichtige Rolle. Kennt man ihre Dichte, so kann man mittels des Schweredrucks (oder auch hydrostatischer Druck) den Auftrieb eines jeden in der Flüssigkeit schwimmenden Gegenstands berechnen. Gleichzeitig kann man auch die Dichte eines beliebigen Gegenstands bestimmen, wenn man weiß, welches Volumen an Wasser er verdrängt.

  • Dichte: Gibt die Relation der Masse eines Körpers zu seinem Volumen an und besagt vereinfacht gesagt, wie eng beieinander („dicht“) die Atome in einem Material beieinander liegen und wie „schwer“ diese sind (im Wesentlichen auf die Zahl der Nukleonen im Kern zurückzuführen)
    • Formel: ρ = m / V
      • Einheit: g / L
      • ρ = Dichte, m = Masse, V = Volumen
      • Die Dichte von Wasser beträgt 1 kg/L.
  • Druck (Physik): Resultiert aus einer Kraft F, die auf eine bestimmte Fläche A einwirkt
    • Formel: p = F / A
    • Einheit: Pa (Pascal = N/m2 = kg/(m×s2))
      • mmHg (lies: Millimeter Quecksilbersäule; ist ein altes Druckmaß, das in der Medizin insb. bei der Blutdruckmessung noch oft angewendet wird; 1 mmHg = 133,322 Pa)
      • cmH2O (lies: Zentimeter Wassersäule; altes Druckmaß, das bei Beatmungsgeräten noch weite Anwendung findet; 1 cmH2O ≈ 1 hPa = 100 Pa)
      • p = Druck, F = Kraft, A = Fläche (auf die die Kraft wirkt)
  • Volumenarbeit: Energiemenge, die beim Verändern des Volumens eines Körpers aufgewendet werden muss
    • Formel: W = p × V
      • Einheit: J (Joule)
      • W = Arbeit, p = Druck, V = Volumen
  • Hydrostatischer Druck: Auch "Schweredruck"; das ist der Druck, der durch Gravitation in einer Flüssigkeit entsteht
    • Formel: p = ρFlüssigkeit × g × h
      • Einheit: Pa (Pascal)
      • p = Druck, ρFlüssigkeit = Dichte der Flüssigkeit, VKörper = Volumen des Körpers, g = Erdbeschleunigung, h = Tiefe
  • Auftrieb: Kraft, die auf einen (schwimmenden) Körper in Richtung der Oberfläche einer Flüssigkeit wirkt
    • Formel: FA = GFlüssigkeit= mFlüssigkeit × g = ρFlüssigkeit × VKörper × g
      • Einheit: N (Newton)
      • FA = Auftriebskraft, GFlüssigkeit = Gewichtskraft ausgeübt durch die Flüssigkeit, mFlüssigkeit = Masse der verdrängten Flüssigkeit, g = Erdbeschleunigung, ρFlüssigkeit = Dichte der Flüssigkeit, VKörper = Volumen des Körpers

Messung des zentralvenösen Drucks
Es gibt einen Trick, mit dem man den zentralvenösen Druck, also den Druck in den großen Venen vor dem rechten Herzen, ohne Hilfsmittel messen kann: Dazu macht man sich zunutze, dass die am Hals gut sichtbare V. jugularis externa dextra in etwa senkrecht über der V. cava superior steht. Beim sitzenden Patienten steht in ihr das Blut wie in einer Wassersäule über dem Herzen und ist somit ein natürliches Manometer. Die V. jugularis externa ist allerdings bei einem Gesunden im Sitzen nicht ohne künstliche Druckerhöhung (z.B. durch Valsalva-Pressversuch) zu sehen, beim Liegenden bis zu einer gewissen Aufrichtung hingegen schon. Der Punkt, wo man die Grenze der Blutsäule sieht, wird bei der klinischen Beurteilung des ZVD als Referenzpunkt genommen. Bei Kontraktion des Herzens variiert der Druck leicht, was man als Pulsieren auf der Haut sehen kann. Der zentralvenöse Druck in cmH2O entspricht dann in etwa der Zentimeteranzahl, die zwischen dem Pulsieren und der geschätzten Höhe des Herzens liegen.

Anwendungsbeispiele

Balkenwaage (Beispiel Drehbewegung)

Eine Balkenwaage besteht aus einem waagerechten Balken, der am Schwerpunkt beweglich befestigt ist. An beiden Enden des Balkens befinden sich Waagschalen, die beladen werden können.

  • mlinks = mrechts: Beide Schalen befinden sich auf gleicher Höhe.
  • mlinks ≠ mrechts: Der Balken neigt sich zur Seite mit der höheren Beladung.

Hebel (Beispiel Drehbewegung)

Ein Hebel ist ein starrer Körper (z.B. ein Balken), der drehbar an einem Punkt (dem sog. Angelpunkt) befestigt ist. Mathematisch beschreiben kann man einen Hebel in seiner Ruhelage mit dem Hebelgesetz, das schon in der Antike formuliert wurde.

  • Hebelgesetz: Ein Hebel ist im Gleichgewicht, wenn die Summe aller Drehmomente in eine Richtung gleich der Summe aller Drehmomente (M = r × F, Details s.o.) in entgegengesetzte Richtung ist. Die Drehmomente werden berechnet, in dem man die Kraft mit der Länge des Kraftarms multipliziert.
    • Formel: Kraft [N] × Kraftarm [m] = Last [N] × Lastarm [m]

Beispielrechnung
  • Gesucht: Kraft, die ein Muskel aufbringen muss, der eine Last hält
  • Gegeben: Der Muskel ist 1 cm vom Gelenkmittelpunkt entfernt, die Last wiegt 100 g und ist 30 cm vom Gelenk entfernt
    • Gewichtskraft G = m × g mit g = Erdbeschleunigung (= 9,81 m/s2) => 0,1kg × 10m/s2 = 1N
    • Kraft × Kraftarm = Last × Lastarm => Kraft × 0,01m = 1N × 0,3m
    • Kraft = 1N × 0,3 m / 0,01 m = 30 N

Zentrifuge (Beispiel Drehbewegung)

Eine Zentrifuge ist ein Gerät, mit dem man Stoffgemische wie Emulsionen und Suspensionen (Definition und Erklärung siehe: Stoffe und Stoffgemische) trennt, indem man die unterschiedlichen Trägheitsmomente der Bestandteile des Gemischs ausnutzt. Hierzu wird die Probe schnell in einer Kreisbewegung beschleunigt. Dabei wirkt eine Fliehkraft, die man Zentrifugalkraft nennt und die senkrecht auf der Tangente zur Kreisbewegung steht und vom Mittelpunkt des Kreises nach außen weg zeigt. Daher bewegen sich alle Bestandteile der Probe langsam zum Boden des Probengefäßes – je höher die Dichte des Bestandteils, desto schneller erfolgt die sog. Sedimentation der Teilchen.

Stoffe mit hoher Dichte setzen sich in der Zentrifuge schneller und weiter ab als Stoffe mit niedriger Dichte!

Beispielrechnung

Zwei Proteine mit den Sedimentationskonstanten von 1S und 4S sollen in einer Zentrifuge voneinander getrennt werden. Wie groß sind ihre jeweiligen Sedimentationsgeschwindigkeiten, wenn die Zentrifuge einen Radius von 15cm hat und sich mit einer Geschwindigkeit von 5000/min dreht?

  • Gesucht: Sedimentationsgeschwindigkeiten vs
  • Gegeben: Sedimentationskonstanten sk, Radius r, Drehzahl n
    • 5000 Umdrehungen pro Minute entsprechen ca. 83 Umdrehungen pro Sekunde
    • Bahngeschwindigkeit v = Bogenlänge s / Zeit t
    • Für die Bogenlänge nehmen wir eine volle Umdrehung, für die gilt: s = 2π x r
    • => v = 83 × 2π × 0,15 m / 1s = 78,2 m/s
    • Zentripetalbeschleunigung az = v2 / r => az = 78,22 m2s-2 / 0,15 m = 40768 m/s2
    • Sedimentationsgeschwindigkeit vs = sk × az
    • Für Protein 1: vs = 1 S × 40768 m/s2 = 4,0768 × 10-9 m/s
    • Für Protein 2: vs = 4 S × 40768 m/s2 = 16,307 × 10-9 m/s

Pendel (Beispiel Energieumwandlung)

Ein Pendel ist ein Körper, der frei schwingend aufgehängt ist. Dazu gehören auch Federn, die nicht von rechts nach links schwingen, sondern von oben nach unten. In seiner Ruhelage hängt das Pendel senkrecht an seiner Befestigung nach unten (entsprechend seinem Schwerpunkt). Wird diesem Pendel nun Energie zugeführt, in dem man es "auslenkt", d.h. aus der Ruhelage in eine andere Position bringt, erhält es eine potentielle Energie. Beim Loslassen schwingt das Pendel automatisch zurück in Richtung Ruhelage, wird dabei immer schneller und vergrößert damit seine kinetische Energie. Schießt das Pendel aber über die Ruhelage hinaus, dann wird die Bewegung wieder langsamer, dafür steigt auch die potentielle Energie des Körpers wieder. Man kann die zwei Zustände des Pendels während der Bewegung folgendermaßen beschreiben:

  • Energieerhaltungssatz: Die Gesamtenergie in einem geschlossenen System bleibt immer konstant!
  • Ungedämpfte Schwingung: Ideale Schwingung, die dem Energieerhaltungssatz gehorcht
    • Formel: Ekin + Epot = konstant
  • Gedämpfte Schwingung: Schwingung, die im Laufe der Zeit langsam abklingt, weil Energie durch Reibung "verloren geht" (d.h. also in Wärme umgewandelt wird)
    • Alle makroskopischen Schwingungen in der Physik sind gedämpft
Extrempositionen des Fadenpendels Epot Ekin Erklärung
Maximale Auslenkung Eges 0
Durchlaufen der Ruhelage 0 Eges

U-Rohr-Manometer

Ein Messgerät, bei dem man sich den hydrostatischen Druck zunutze macht, ist das sogenannte U-Rohr-Manometer. Dabei handelt es sich um ein Druckmessgerät, das aus einem U-förmig gebogenen Glasrohr besteht, das zum Teil mit Flüssigkeit gefüllt ist. Wenn beide Seiten des U-Rohr-Manometers offen sind, kann der Umgebungsdruck auf beide Seiten der Flüssigkeit wirken. Schließt man nun eine Seite des Manometers an einen Behälter, dessen Druck man messen will, dann verschiebt sich die Flüssigkeitssäule im Manometer:

  • Druck im Behälter < Umgebungsdruck: Flüssigkeitssäule bewegt sich so lange auf den Behälter zu, bis der Druck ausgeglichen ist
  • Druck im Behälter > Umgebungsdruck: Flüssigkeitssäule bewegt sich so lange vom Behälter weg, bis der Druck ausgeglichen ist

Wiederholungsfragen zum Kapitel Grundlagen der Mechanik

Bewegung von Körpern

Was ist eine Kraft und wie berechnet man sie ganz allgemein?

Beschreibe den Unterschied zwischen Gewicht und Gewichtskraft! Gib an, wie man letztere berechnet!

Was ist ein Impuls und wie berechnet man ihn?

- Translation

Wie kann man die Geschwindigkeit eines bewegten Objekts rechnerisch bzw. graphisch bestimmen?

Was versteht man unter Beschleunigung, wie wird sie berechnet bzw. graphisch bestimmt?

- Drehbewegung

Wie heißen die Größen einer Drehbewegung, die analog zur Kraft und zum Impuls einer Translationsbewegung sind? Wie berechnet man die beiden Größen?

- Periodische Bewegungen: Schwingungen

Welchen wichtigen Wert gilt es zu beachten, wenn sich eine Bewegung periodisch wiederholt?

- Energie, Arbeit, Leistung

Erkläre den Unterschied zwischen kinetischer und potentieller Energie am Beispiel eines schwingenden Pendels!

Welcher Zusammenhang besteht zwischen einer Kraft und der durch sie verrichteten Arbeit?

Was versteht man unter Leistung?

Verformung von Körpern

Beschreibe die Verformung eines Körpers mithilfe des Hook'schen Gesetzes!

Je nachdem, aus welchem Material ein Körper besteht, lässt er sich unterschiedlich leicht verformen. Erkläre und benenne den Widerstand, der gegen eine Verformung wirkt!

Beschreibe die Energie, die in einer gespannten Feder gespeichert werden kann und vergleiche sie mit einer anderen dir bekannten Energieform!

Hydrostatik

Was versteht man unter der Dichte eines Materials?

Was ist ein Druck und welche Einheiten kennst du, um ihn zu beschreiben?

Anwendungsbeispiele

Was besagt das Hebelgesetz?

Was ist der Unterschied zwischen Zentrifugalkraft und Zentripetalkraft?

Wie berechnet man die Zentripetalbeschleunigung?

Offene Fragen zum Kapitel Grundlagen der Mechanik

Vergleiche eine Translationsbewegung mit einer Rotationsbewegung!

Beschreibe die Energie, die in einer Bewegung steckt und gib an, welche Arbeit und welche Leistung sich damit verrichten lässt!

Wie kann man die Verformung eines Körpers beschreiben und welcher Widerstand muss dabei überwunden werden?

Beschreibe die beiden Größen Druck und Dichte, die in der Hydrostatik eine wichtige Rolle spielen!

Wie funktioniert eine Zentrifuge? Welche Kräfte wirken in ihr und wie kann man ihren Effekt auf ein Zentrifugenröhrchen berechnen?