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Grundlagen des Rechnens

Abstract

Mathematische Grundlagen sind nicht nur für viele Prüfungsfragen relevant: Auch im Berufsalltag der meisten Ärzte müssen leichte Berechnungen durchgeführt werden wie bspw. Dosisanpassungen an das Patientengewicht oder die Nierenfunktion. Eine Auswahl einiger für Mediziner relevanter Grundlagen ist in diesem Kapitel zusammengestellt.

Vorsätze für Maßeinheiten

Physikalische Einheiten können durch sog. Vorsätze (lat. Präfixe) um Zehnerpotenzen erweitert werden

Vorsatz-Symbol Vorsatz-Name Zahlenwert
M Mega- 106 = 1.000.000
k Kilo- 103 = 1.000
h Hekto- 102 = 100
d Deci- 10−1 = 0,1
c Centi- 10−2 = 0,01
m Milli- 10−3 = 0,001
μ Mikro- 10−6 = 0,000.001
n Nano- 10−9 = 0,000.000.001
p Piko- 10−12 = 0,000.000.000.001

Dreisatz

Rechnen mit dem Dreisatz

Der Dreisatz ist eine Lösungsstrategie in der Mathematik, um einfache Verhältnisgleichungen in zwei Schritten umzustellen. Er führt nicht nur in vielen IMPP Fragen zur richtigen Lösung, sondern ist bspw. auch für Dosisberechnungen in der Anästhesie sehr nützlich.

  • Ausgangsgleichung: aX entspricht bY
    • Dabei sind a und b feste Zahlenwerte.
    • X und Y sind Variablen, die bspw. für eine Einheit stehen können.
  • Frage: Was entspricht cX?
  • Lösungsstrategie
    1. X isolieren: Teile beide Seiten durch a.
    2. X zu cX machen: Multipliziere beide Seiten mit c.
  • Ergebnis: cX entspricht (c b / a) Y.

Rechenbeispiele

  • Beispiel 1
    • Ein Sportler erbringt bei einem Wirkungsgrad von 20% 200W Leistung. Wie groß ist seine körperliche Gesamtleistung?
      • Gegeben: 20% entsprechen 200 W.
      • Gesucht: Wieviel entsprechen 100%?
      • Lösung
        1. Teile beide Seiten durch 20: 1% entspricht 10 W.
        2. Multipliziere beide Seiten mit 100: 100% entspricht 1.000 W.
  • Beispiel 2 (Sonderfall): Manchmal ist die Ausgangsgleichung bereits in der Form X entspricht bY gegeben, dann entfällt der 1.Schritt
    • Ein 70 kg schwerer Patient soll zur Narkoseeinleitung 2 mL/kg Propofol erhalten. Wie viele mL Propofol müssen verabreicht werden?
      • Gegeben: 1 kg entsprechen 2 mL Propofol.
      • Gesucht: Wieviel Propofol entspricht 70 kg?
      • Lösung: 1 kg × 70 entspricht 2 mL × 70 = 140 mL

Vektorrechnung und Satz des Pythagoras

Vektorrechnung

Möchte man eine Kraft beschreiben, so reicht es nicht aus zu sagen, wie stark diese Kraft ist. Genauso entscheidend ist, in welche Richtung die Kraft wirkt . Die Richtung einer physikalischen Größe wird mathematisch mittels Vektoren beschrieben.

  • Definition: Ein Vektor ist vereinfacht gesagt eine physikalische Größe, die eine Länge (= Betrag) und eine Richtung besitzt.
  • Addition zweier Vektoren: Möchte man zwei Vektoren addieren, so kann man im Allgemeinen nicht einfach die Beträge der Vektoren addieren
    • Man setzt die Vektoren so aneinander, dass sie zwei Seiten eines Dreiecks bilden → Die dritte Seite des Dreiecks entspricht dann dem Summenvektor der beiden Vektoren
    • Für die Berechnung der Länge des Summenvektors gibt es zwei einfache Spezialfälle
      • Winkel zwischen den Vektoren beträgt 90° → Berechnung mittels Satz des Pythagoras
      • Winkel zwischen den Vektoren beträgt 120° und Vektoren sind gleich lang → Gleichseitiges Dreieck → Summenvektor gleich lang wie Ausgangsvektoren

Geometrie – Das Dreieck

Diese geometrische Figur begegnet einem auch nach der Schulzeit immer wieder. In jedem Dreieck gilt, dass die Winkel des Dreiecks addiert 180° ergeben. Die im folgenden beschriebenen geometrischen Zusammenhänge gelten natürlich auch in der Vektorrechnung. Wir beschäftigen uns hier insbesondere mit dem rechtwinkligen Dreieck und dem gleichseitigem Dreieck.

Satz des Pythagoras

In einem Dreieck mit einem 90°-Winkel (rechter Winkel), lässt sich die Länge der Seiten sehr einfach mit dem Satz des Pythagoras berechnen.

  • Satz des Pythagoras: In einem Dreieck mit rechtem Winkel zwischen den Seiten a und b, gilt für die Länge der dritten Seite c: a2 + b2 = c2
  • Rechenbeispiel: Zwei aufeinander senkrecht stehende Geschwindigkeitsvektoren haben die Beträge 0,8 m/s und 0,6 m/s. Was ist der Betrag der Gesamtgeschwindigkeit?
    • Lösung: 0,82 + 0,62 = 0,64 + 0,36 = 1,00 = c2 c = 1,00 [m/s]

Winkelberechnung

In einem rechtwinkligem Dreieck gibt es ein festes Verhältnis zwischen einem Winkel und dem Längenverhältnis zweier beliebiger Seiten. Für die Berechnungen benötigen wir allerdings ein paar Vokabeln, die einige noch aus der Mittelstufe kennen werden:

  • Hypotenuse: Die längste Seite des Dreiecks, dem rechten Winkel gegenüber liegend
  • Ankathete: Seite, die an den Winkel α und an den rechten Winkel grenzt
  • Gegenkathete: Seite, die dem Winkel α gegenüber liegt und an den rechten Winkel grenzt

Hier gelten folgende Beziehungen:

  • Sinus: sin α = Gegenkathete/Hypotenuse
  • Cosinus: cos α = Ankathete/Hypotenuse
  • Tangens: tan α = Gegenkathete/Ankathete
  • Rechenbeispiel: Eine Leiter steht 1 m von einer Mauer entfernt und lehnt in einem Winkel von 70° zum Boden an der Wand. Wie lang ist die Leiter?
    • Lösung: Mauer und Boden bilden einen rechten Winkel. Da die Leiter gegenüber des rechten Winkels liegt, ist sie die Hypotenuse. Mithilfe des Cosinus (cos α = Ankathete / Hypotenuse bzw. Hypotenuse = Ankathete / cos α) kann man nun die Länge der Leiter errechnen: Hypotenuse = 1 m / cos 70° ≅ 2,9 m → Die Leiter ist ca. 3 m lang.

Gleichseitige Dreiecke

Ein weiterer Sonderfall, bei dem sich Seiten sehr leicht addieren lassen, sind gleichseitige Dreiecke: In einem Dreieck mit einem Winkel von 60° und zwei gleich langen Seiten betragen alle Winkel 60° und alle Seiten sind gleich lang.

Fehlerrechnung

Wird eine Messung mehrfach durchgeführt, so ist es sehr gut möglich, dass nicht jedes Mal das gleiche Ergebnis dabei herauskommt. Mathematisch kann diese Tatsache mit Messfehlern, dem Mittelwert und der Standardabweichung beschrieben werden. Dadurch lässt sich einordnen, inwieweit die Messung die Wirklichkeit abbildet.

Absoluter und relativer Fehler

Weicht ein Messwert von einem exakten Sollwert ab, so wird die Differenz der beiden Messwerte als absoluter Fehler bezeichnet. Wie groß der absolute Fehler im Vergleich zum Sollwert ist, besagt der relative Fehler.

Mittelwert und Standardabweichung

Fehler in den Messwerten machen es nahezu unmöglich, die Realität durch einen exakten Wert abzubilden. Daher versucht man abzuschätzen, wie groß der reale Wert ungefähr ist (z.B. mit dem Mittelwert) und wie stark der Schätzwert vermutlich vom realen Wert abweicht (z.B. mit der Standardabweichung). Meist wird für diesen Schätzwert der sog. Mittelwert verwendet: Um den Einfluss von Messfehlern möglichst gering zu halten, werden dabei mehrere Messungen durchgeführt und von den Ergebnissen der Durchschnitt (= arithmetisches Mittel) gebildet.

  • Mittelwert: Durchschnittswert, der sich ergibt, wenn alle Einzelwerte addiert werden und die Summe durch die Anzahl der Einzelwerte geteilt wird
    • Beispiel: Berechnung der durchschnittlichen Haarlänge von 5 Medizinstudenten
      • 2 cm + 4 cm + 5 cm + 6 cm + 33 cm = 50 cm
      • 50 cm / 5 = 10 cm
      • Der Mittelwert ist 10cm, die 5 Medizinstudenten haben durchschnittlich 10 cm langes Haar
  • Harmonischer Mittelwert: Kehrwert des arithmetischen Mittels der Kehrwerte der betrachteten Zahlen.
    • Formel: Harmonischer Mittelwert von zwei Zahlen a und b = 2 / [(1/a) + (1/b)]
    • Beispiel: Harmonischer Mittelwert von 3 und 6 = 2 / [(1/3) + (1/6)] = 2 / (3/6) = 2 / (1/2) = 4
  • Varianz: Die Varianz ist ein Maß für die Streuung der Messwerte.
    • Summe der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert, geteilt durch die Anzahl der Werte
      • Beispiel: Varianz der Haarlängen von 5 Medizinstudenten
        • Mittelwert: 10 cm
        • Werte: 2 cm, 4 cm, 5 cm, 6 cm, 33 cm
        • Anzahl der Werte: 5
        • Varianz = [(10 − 2)2 + (10 − 4)2 + (10 − 5)2 + (10 − 6)2 + (10 − 33)2] / 5 = (64 + 36 + 25 + 16 + 529)cm2 / 5 = 670 / 5 = 134[cm2]
  • Warum wird quadriert?
    • Wenn einfach alle Abweichungen (unquadriert) addiert werden, ist das Ergebnis immer 0 und somit nicht sinnvoll verwertbar
    • Durch die Quadrierung werden große Abweichungen stärker gewichtet als kleine.
  • Problem der Quadrierung
    • Die Einheit der Variablen wird mitquadriert, dadurch ist die Varianz unintuitiv und schwer verwertbar.
  • Lösung: Berechnung der Standardabweichung
  • Standardabweichung
    • (SD) = Wurzel aus der Varianz
    • Beschreibt, wie weit die Einzelwerte durchschnittlich vom Mittelwert entfernt liegen
    • Beispiel: Varianz der Haarlängen = 134 cm2Standardabweichung = √134 cm2 = 11,6 cm
      • Die Haarlängen weichen durchschnittlich 11,6 cm vom Mittelwert ab!

Gaußverteilung

Die Gaußverteilung bzw. Normalverteilung ist eine spezielle Anordnung von Messwerten oder Wahrscheinlichkeiten (Wahrscheinlichkeitsverteilung), die sich in vielen natürlichen Prozessen wiederfindet. Ein Beispiel für eine normalverteilte Variable ist der Hb-Wert.

  • Wichtige Eigenschaften der Gaußverteilung
    • Form: Glockenförmig und symmetrisch um den Mittelwert (μ) verteilt
    • Verteilung der Messwerte
      • Die Hälfte der Werte liegt unter dem Mittelwert, die andere Hälfte darüber
      • Im Bereich von ±σ (= Standardabweichung) um den Mittelwert liegen ca. 68% der Messwerte (d.h. etwa 16% liegen jeweils darunter oder darüber)
      • Im Abstand von ±σ zum Mittelwert liegen jeweils die beiden Wendepunkte der Gaußkurve
      • Im Bereich von ±2σ um den Mittelwert liegen ca. 95% der Messwerte (d.h. etwa 2,5% liegen jeweils darunter oder darüber)
  • Anwendungsbeispiel
    • Die mittlere Hb-Konzentration beträgt 9,5 mmol/l mit einer Standardabweichung von 0,6 mmol/l. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein zufälliger Proband einen Hb-Wert unter 8,3 mmol/l?
    • Lösung
      • 95% der Probanden haben einen Hb-Wert von 9,5 mmol/l ± 2×0,6 mmol/l, also zwischen 8,3 und 10,7 mmol/l.
      • Die Gaußverteilung ist symmetrisch um den Mittelwert. → Je 2,5% der Probanden haben einen Hb-Wert unter 8,3 und über 10,7 mmol/l.

Exponentialfunktion und Logarithmus

Exponentialfunktionen sind Funktionen, die die unabhängige Variable im Exponenten tragen. Mit ihnen lassen sich beispielsweise Wachstumsprozesse (exponentielles Wachstum) mathematisch beschreiben. Logarithmusfunktionen sind die Umkehrfunktionen der Exponentialfunktion, sie machen die Exponentialfunktion also rückgängig.

Exponentialfunktion

Exponentialfunktionen haben eine reelle Zahl a als Basis und die unabhängige Variable x als Exponenten. Sie spielen in der Medizin bspw. beim radioaktiven Zerfall eine Rolle.

  • Definition: Eine Funktion der Form y = ax heißt Exponentialfunktion.
    • Dabei wird a als Basis und x als Exponent bezeichnet .
  • Sonderfall: Ist die Basis einer Exponentialfunktion die Euler-Zahl e, wird die Funktion auch natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion genannt und hat spezielle Eigenschaften
  • Rechenregeln
    • ax × ay = ax+y
    • ax × bx = (ab)x
    • (ax)y = axy
    • a−x = 1/ax
  • Rechenbeispiele
    • 105 × 106 = 1011
    • 105 × 25 = 205
    • (105)6 = 1030
    • 10−1 = 1/10 = 0,1

Logarithmus

Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Oder anders gesagt ist der Logarithmus einer Zahl y diejenige Zahl x, die man in den Exponenten schreiben müsste, um y herauszubekommen. Er wird bspw. benötigt, um die Halbwertszeit eines radioaktiven Zerfalls oder den pH-Wert aus einer gegebenen Protonenkonzentration zu berechnen.

Bogenmaß

In der Physik und der Mathematik wird häufig statt der Gradangabe das Bogenmaß verwendet, um Winkel zu beschreiben: Bogenmaß und Winkel hängen über den Einheitskreis voneinander ab: Man kann jedem Winkel einen Anteil des Kreisumfanges zuordnen und erhält so eine einheitenlose Zahl, statt einer Gradanzahl. Da der Umfang des Einheitskreises 2π beträgt, entsprechen 360° 2π, 180° π, 90° π/2 usw. Die Umrechnung zwischen rad und Grad ist einfach:

  • Bogenmaß: Weite eines Winkels beschrieben über das Verhältnis von Bogenlänge zum Radius
    • Formel: φ = (π / 180°) × Winkel in Grad
      • φ = Winkel in rad (Bogenmaß); die Formel gibt an, wie man einen Winkel in Grad in einen Winkel in rad umrechnet
    • Formel: φ = (180° / π) × Winkel in rad
      • φ = Winkel in Grad; die Formel gibt an, wie man einen Winkel in rad in einen Winkel in Grad umrechnet

Kreise und Kugeln

Die wesentlichen mathematischen Eigenschaften von Kreisen und Kugeln sind auch für Berechnungen in der Medizin von Bedeutung, bspw. wenn die Querschnittsfläche eines Blutgefäßes oder das Volumen eines Tumors berechnet werden sollen. Charakterisiert werden Kreise und Kugeln durch ihren Radius r, der der Hälfte des Durchmessers entspricht.

  • Kreiszahl π („Pi“)
    • Wird für viele Berechnungen, die Kreise einbeziehen, benötigt
    • π = 3,14159...≈ 3,14 ≈ 3
  • Kreis
    • Flächeninhalt A = πr2
    • Umfang U = 2πr
  • Kugel
    • Volumen V = 4/3 πr3

Wiederholungsfragen zum Kapitel Grundlagen des Rechnens

Vorsätze für Maßeinheiten

Welche Vorsätze von Einheiten kennst du? Wie lassen sich bspw. die Zehnerpotenzen 106, 102, 10-2, 10-6, 10-9 und 10-12 mit einem Präfix ausdrücken?

Dreisatz

Der Kohlenhydratanteil einer Tafel Schokolade mit 200 g beträgt etwa 120 g. Ein Diabetespatient hat einen Riegel Schokolade von etwa 20 g gegessen. Wie kann die verzehrte Kohlenhydratmenge berechnet werden und warum lässt sich diese Methode anwenden?

Die Anzahl der Bakterien in einer Probe verdoppelt sich alle 10 min. Lässt sich hier der Dreisatz anwenden, um die Menge der Bakterien nach 2 h zu berechnen?

Vektorrechnung und Satz des Pythagoras

Was sagt der Satz des Pythagoras aus?

Was bezeichnen die Begriffe „Hypotenuse“ „Gegenkathete“ und „Ankathete“ bei einem rechtwinkligen Dreieck mit einem weiteren gegebenen Winkel α?

Welche Verhältnisse für Seitenlängen gelten in Abhängigkeit von einem spitzen Winkel α im rechtwinkligen Dreieck?

Fehlerrechnung

Was ist der Unterschied zwischen dem absoluten Fehler und dem relativen Fehler?

Wie werden der arithmetische und der harmonische Mittelwert berechnet?

Was ist die Standardabweichung?

Gaußverteilung

Wie sieht eine Gaußverteilung aus?

Wie viel Prozent der Messwerte liegen jeweils innerhalb und außerhalb von ±1 Standardabweichung, ±2 Standardabweichungen sowie über und unter dem Mittelwert?

Welche statistische Größe entspricht dem Abstand der Wendepunkte vom Mittelwert?

Exponentialfunktion und Logarithmus

Ein Jahrmarktsbesucher möchte an zwei Glücksspielen teilnehmen. Bei einer Tombola gewinnt er mit einer Wahrscheinlichkeit von 10-3 (d.h. 1 Los von 1000 gewinnt) ein Fahrrad und bei einem Glücksrad gewinnt er mit einer Wahrscheinlichkeit von 10-1 (d.h. 1 Feld von 10 gewinnt) ein Kuscheltier. Er überlegt sich nun korrekt, dass die Wahrscheinlichkeit, beides zu gewinnen, 10-3 × 10-1 ist. Gib die Lösung in verschiedenen Schreibweisen an und nenne die passenden Rechengesetze!

Das Ergebnis folgender Rechenaufgaben ist immer dasselbe – nenne das Ergebnis und formuliere jeweils die zugehörige allgemeine Rechenregel: a) 102 × 104 b) 26 × 56 c) (103)2 d) 1/10-6

Das Ergebnis folgender Rechenaufgaben ist immer dasselbe – nenne das Ergebnis und formuliere jeweils die zugehörige allgemeine Rechenregel: a) log10500 + log1020 b) 0,5 × log2(162) c) 5 - log1313

Welche Basis hat der dekadische Logarithmus? Was ergibt lg1000?

Welche Basis hat der natürliche Logarithmus?

Bogenmaß

Was ist das Bogenmaß?

Wie kann Gradmaß in Bogenmaß und umgekehrt umgerechnet werden?

Kreise und Kugeln

Wie berechnen sich Fläche und Umfang eines Kreises?

Wie berechnet sich das Volumen einer Kugel?